Divisibilité dans ℤ

Périmètre : Terminale C uniquement. Volume indicatif de la progression 2026-2027 : Terminale C : 13 h.

La leçon est conservée comme unité autonome pour permettre la réutilisation du programme maître par série et par concours. Les volumes officiels comprennent cours, exercices, travaux dirigés et évaluations ; ils ne sont pas interprétés comme un temps d’écran obligatoire dans l’application.

Division euclidienne, divisibilité, multiples et diviseurs, congruences, propriétés de calcul modulo n et résolution de problèmes arithmétiques prévus en Terminale C.

Une maîtrise complète exige de relier les notions suivantes : Divisibilité, Division euclidienne, Congruence, Classe modulo n, Compatibilité additive, Compatibilité multiplicative, Puissance modulo n, Critère de divisibilité. L’objectif n’est pas d’appliquer des recettes isolées, mais de reconnaître la structure du problème, choisir l’outil pertinent, justifier son emploi puis vérifier la cohérence mathématique du résultat.

Avant toute application, identifier précisément les hypothèses : domaine de définition, non-nullité d’un dénominateur, positivité éventuelle, appartenance à un intervalle, indépendance ou continuité lorsqu’elles sont requises. Écrire les équivalences et implications dans le bon sens. Une propriété mémorisée sans ses hypothèses ne constitue pas une justification.

Dans les calculs, conserver une écriture exacte aussi longtemps que possible. N’utiliser une valeur approchée que si la consigne ou l’interprétation l’exige, et indiquer alors le niveau d’arrondi.

1. Traduire l’énoncé en divisibilité ou congruence.
2. Réduire les nombres modulo n.
3. Utiliser les propriétés de compatibilité.
4. Revenir à la conclusion demandée sur les entiers.

1. Situation : Quel est le reste de 14 dans la division euclidienne par 4 ? Donner une réponse exacte et justifier l’étape déterminante.
   Résultat attendu : 2
   Justification : 14=4×3+2, avec 0≤2<4.
2. Situation : Quel est le reste de 22 dans la division euclidienne par 5 ? Effectuer le calcul puis contrôler le résultat.
   Résultat attendu : 2
   Justification : 22=5×4+2, avec 0≤2<5.
3. Situation : Calculer le reste de 3^3 modulo 4. La justification complète est exigée.
   Résultat attendu : 3
   Justification : On réduit la puissance modulo 4; 3^3≡3 [4].

Résoudre sans consulter immédiatement la correction. Pour chaque item, écrire la propriété utilisée et contrôler le résultat.

1. Quel est le reste de 32 dans la division euclidienne par 6 ? Choisir la propriété adaptée avant de conclure.
2. Quel est le reste de 16 dans la division euclidienne par 7 ? Résoudre en indiquant la transformation utilisée.
3. Calculer le reste de 4^4 modulo 5. On attend une solution exacte avant toute approximation.
4. Calculer le reste de 5^2 modulo 6. Le raisonnement doit faire apparaître les hypothèses utilisées.

1. Lire la consigne et traduire exactement ce qui est demandé.
2. Recenser les données, contraintes et objets mathématiques utiles.
3. Choisir une propriété, un théorème ou une transformation compatible avec les hypothèses.
4. Développer le calcul proprement, sans sauter les étapes qui portent la justification.
5. Contrôler domaine, signe, unité éventuelle, ordre de grandeur et cohérence avec la question.
6. Rédiger une conclusion qui répond explicitement à la consigne.