Limites et continuité

Périmètre : Terminales C et D. Volume indicatif de la progression 2026-2027 : Terminale C : 11 h ; Terminale D : 17 h.

La leçon est conservée comme unité autonome pour permettre la réutilisation du programme maître par série et par concours. Les volumes officiels comprennent cours, exercices, travaux dirigés et évaluations ; ils ne sont pas interprétés comme un temps d’écran obligatoire dans l’application.

Limites finies ou infinies, opérations sur les limites, formes indéterminées usuelles, asymptotes, continuité, théorème des valeurs intermédiaires et résolution d’équations par continuité.

Une maîtrise complète exige de relier les notions suivantes : Limite finie, Limite infinie, Asymptote verticale, Asymptote horizontale, Continuité en a, Continuité sur un intervalle, Théorème des valeurs intermédiaires, Forme indéterminée. L’objectif n’est pas d’appliquer des recettes isolées, mais de reconnaître la structure du problème, choisir l’outil pertinent, justifier son emploi puis vérifier la cohérence mathématique du résultat.

Avant toute application, identifier précisément les hypothèses : domaine de définition, non-nullité d’un dénominateur, positivité éventuelle, appartenance à un intervalle, indépendance ou continuité lorsqu’elles sont requises. Écrire les équivalences et implications dans le bon sens. Une propriété mémorisée sans ses hypothèses ne constitue pas une justification.

Dans les calculs, conserver une écriture exacte aussi longtemps que possible. N’utiliser une valeur approchée que si la consigne ou l’interprétation l’exige, et indiquer alors le niveau d’arrondi.

1. Identifier le domaine et le point ou l’infini étudié.
2. Calculer d’abord les limites des éléments simples.
3. Repérer une éventuelle forme indéterminée et transformer l’expression.
4. Interpréter le résultat : continuité, asymptote, existence de solution ou comportement global.

1. Situation : Calculer lim(x→+∞) [(3x²+2)/(x²+1)]. Donner une réponse exacte et justifier l’étape déterminante.
   Résultat attendu : 3
   Justification : Les termes dominants sont 3x² et x² ; le quotient des coefficients dominants vaut 3.
2. Situation : Calculer lim(x→+∞) [(4x²+3)/(x²+1)]. Effectuer le calcul puis contrôler le résultat.
   Résultat attendu : 4
   Justification : Les termes dominants sont 4x² et x² ; le quotient des coefficients dominants vaut 4.
3. Situation : Calculer lim(x→2) [(x²−4)/(x−2)]. La justification complète est exigée.
   Résultat attendu : 4
   Justification : On factorise x²−4=(x−2)(x+2); après simplification la limite vaut 2+2=4.

Résoudre sans consulter immédiatement la correction. Pour chaque item, écrire la propriété utilisée et contrôler le résultat.

1. Calculer lim(x→+∞) [(5x²+1)/(x²+1)]. Choisir la propriété adaptée avant de conclure.
2. Calculer lim(x→+∞) [(2x²+2)/(x²+1)]. Résoudre en indiquant la transformation utilisée.
3. Calculer lim(x→3) [(x²−9)/(x−3)]. On attend une solution exacte avant toute approximation.
4. Calculer lim(x→4) [(x²−16)/(x−4)]. Le raisonnement doit faire apparaître les hypothèses utilisées.

1. Lire la consigne et traduire exactement ce qui est demandé.
2. Recenser les données, contraintes et objets mathématiques utiles.
3. Choisir une propriété, un théorème ou une transformation compatible avec les hypothèses.
4. Développer le calcul proprement, sans sauter les étapes qui portent la justification.
5. Contrôler domaine, signe, unité éventuelle, ordre de grandeur et cohérence avec la question.
6. Rédiger une conclusion qui répond explicitement à la consigne.